data: 2023-12-08
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Calcolo Integrale - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"Tutto sul calcolo integrale.
data: 2023-12-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Suddivisione di un Intervallo
tipologia: appunti
stato: "1"Breve descrizione qui
Sia
Lo denotiamo con il simbolo
FIGURA 1.1. (Concetto grafico di suddivisione)
Indico l'insieme di tutte le suddivisioni di
Siano
FIGURA 2.1. (Concetto grafico della finezza)
TRUCCO MNEMONICO. Come "trucchetto mnemonico" si può "trasformare" il simbolo di essere contenuto in a essere minore di; ovvero
Supponiamo di avere due suddivisioni
Possiamo comunque prendere una suddivisione più fine tra le due? Invece la suddivisione meno fine?
La risposta è sì, se consideriamo l'unione e l'intersezione tra queste due suddivisioni: prendendo "l'unione" comprendi tutti gli elementi sia di
Per quanto riguarda invece l'intersezione, questa prende solo gli elementi in comuni: ovvero, nel "caso peggiore" si prenderebbero solo gli estremi
Riassumendo, abbiamo
L'idea di questa osservazione viene raffigurata nella figura 2.2..
FIGURA 2.2. (L'idea delle relazioni tra suddivisioni)
data: 2023-12-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Somma inferiore e superiore per una Funzione
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di somma inferiore e superiore per una funzione relativa ad una suddivisione; osservazioni preliminari per l'integrazione secondo Riemann.
Sia
Prendo una suddivisione (Suddivisione di un Intervallo > ^379a7bDefinizione 2 (l'insieme di tutte le suddivisione)) qualsiasi
Chiamo la somma inferiore per
FIGURA 1.1. (Concetto grafico di somma inferiore)
Sia
Analogamente alla definizione della somma inferiore per
FIGURA 1.2. (Idea grafica della somma superiore)
Queste osservazioni vengono effettuate al fine di comprendere meglio il concetto di integrabilità secondo Riemann (Integrabilità secondo RiemannIntegrabilità secondo Riemann).
Come "presupposto" di queste osservazioni facciamo la seguente:
#Osservazione
Ogni volta che prendo una suddivisione
Qual è la relazione tra
Dato che sia la somma inferiore e superiore sono definiti dalla stessa "base"
Ma allora, per definizione un estremo inferiore di
Allora si evince che
Osserviamo che aggiungendo ad una qualsiasi suddivisione
Allora supponendo
Possiamo ragionare graficamente (figura 2.3.): aggiungendo un "pezzo di suddivisione" in più, abbiamo una specie di nuovo "contributo" da parte di questo elemento aggiunto.
Allora si evince che
FIGURA 2.3. (Idea grafica delle somme superiori inferiori di suddivisioni più fini delle altre)
Siano
Quale sarà mai la relazione tra la somma inferiore per
Infatti questa sembra una sorta di "panino", dove le linee delineate dalla somma superiore è la fetta di pane superiore; la parte in mezzo la carne; la parte sotto sono le linee delineate dalla somma inferiore. (forse non consiglio di usare questa analogia all'orale)
Infatti, ricordandoci delle osservazioni fatte sulle suddivisioni (Suddivisione di un Intervallo > ^64461dOsservazione 4 (l'insieme delle suddivisioni è un reticolo)) possiamo prendere l'unione delle suddivisioni, maggiorarlo per la suddivisione inferiore di
Ovvero, in termini matematici questo equivale a
Se
FIGURA 2.4. (Intuizione grafica della proposizione 2.1.)
data: 2023-12-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Integrabilità secondo Riemann
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di funzione integrabile secondo Riemann; teorema di caratterizzazione di funzione integrabile: enunciato e dimostrazione.
Sia
Si dice che
ISia
Allora il valore per cui vale la relazione di definizione
Indico l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann sull'intervallo
Notiamo che secondo la nostra definizione dell'integrabilità di una funzione, diventa molto difficile verificare se delle funzioni
Allora si propone il seguente teorema per "semplificarci" la vita trovando un modo per raggirare questi "calcoli infiniti".
Sia
Allora
Questo ci ricorda infatti la nozione di limite secondo Cauchy (Definizione di Limite di funzione > ^0f845aDefinizione 9 (limite infinito di una funzione all'infinito)): abbiamo un valore piccolo a piacere a cui dobbiamo associare un valore.
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^92bcfbTeorema 5 (condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann))
"
Allora esiste un valore reale
"
data: 2023-12-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esempi di Funzioni Integrabili
tipologia: appunti
stato: "1"Esempi di funzioni integrabili e non integrabili, corredato da calcoli.
Sia
Allora, intuitivamente si può vedere la sua area sotto la "curva" (o linea retta) è semplicemente base per altezza, ovvero
Però usiamo l'integrazione di Riemann (Integrabilità secondo Riemann > ^64ad3bDefinizione 2 (integrale di Riemann di una funzione su un intervallo)) per calcolare il suo integrale, ovvero l'area.
Calcolo dunque la sua somma inferiore (Somma inferiore e superiore per una Funzione > ^1ff0a9Definizione 1 (somma inferiore per una funzione relativa ad una suddivisione)) per una sua qualsiasi suddivisione:
Dunque,
FIGURA 1.1. (Funzione costante)
Sia
Allora anche qui si può intuire che l'area sotto la retta è l'area di un triangolo, ovvero base per altezza diviso due. Pertanto
Ora verifichiamo quest'affermazione secondo l'integrazione di Riemann.
Prendiamo una suddivisione particolare
Con tale suddivisione calcoliamo la somma inferiore e la somma superiore.
Sia
Vogliamo calcolare l'integrale
Analogamente all'esempio 1.3., prendiamo la suddivisione
Adesso consideriamo la proprietà della somma dei quadrati per cui si ha
Ora vogliamo calcolare il valore dell'integrale; come prima consideriamo che l'integrale è "compresso" tra la sua somma inferiore e superiore, ovvero
Vediamo che calcolare l'integrale di una funzione secondo la tecnica di Riemann risulta spesso "faticoso" e "difficile" (anche se discutibile!): perciò sorge la necessità di trovare un altro modo più "semplice" per calcolare gli integrali, raggirando ad esempio il calcolo delle somme inferiore e/o superiore.
A proposito di ciò argomenterebbero a favore i noti matematici russi A. N. Kolmogorov, A. D. Aleksandrov e M. A. Lavrent'ev
Sorge quindi il problema di trovare un metodo generale peri l calcolo dell'integrale definito. Il problema generale del calcolo delle aree e dei volumi, così ricco di conseguenze pratiche, interessò i matematici per lungo tempo" - tratto da "Le Matematiche - Analisi, Algebra, Geometria Analitica" (1974) di A. N. Kolmogorov, A. D. Aleksandrov e M. A. Lavrent'ev
Per esercizio calcolare l'integrale
Esistono funzioni che non siano integrabili secondo Riemann?
La risposta è sì, in quanto se consideriamo la funzione di Dirichlet scopriamo che questa non sia derivabile.
La funzione di Dirichlet è definita nel seguente modo:
Analogamente la somma inferiore è sempre
Pertanto, vedo che
data: 2023-12-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Tipologie di Funzioni Integrabili
tipologia: appunti
stato: "1"Teoremi che prescrivono l'integrabilità di certe famiglie di funzioni.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^12da61Teorema 1 (di integrabilità della funzioni monotone))
Dimostriamo il caso in cui
Osserviamo che
Allora considero la seguente suddivisione (Suddivisione di un Intervallo > ^318045Definizione 1 (suddivisione di un'intervallo chiuso e limitato)).
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^dd4f09Teorema 2 (di integrabilità delle funzioni continue))
Richiamiamoci ad una delle proprietà delle funzioni continue, ovvero il teorema di Heine (Continuità Uniforme > ^d030d1Teorema 4 (di Heine)).
Sia
Allora
FIGURA 2.1. (La suddivisione 'delta')
FIGURA 2.2. (I punti di max e min vivono in delta)
data: 2023-12-08
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Proprietà delle Funzioni Integrabili
tipologia: appunti
stato: "1"Tutte le proprietà elementari delle funzioni integrabili: operazioni tra funzioni integrabili, confronto tra funzioni integrabili, pezzo di un integrale, convenzione di notazione degli integrali.
Siano
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (^b48600Proposizione 1 (l'integrale di due funzioni sullo stesso intervallo))
Una dimostrazione che costituirà come la "base di ragionamento" delle proposizioni a venire è la seguente (infatti non dimostreremo le altre proposizioni, daremo una semplice idea grafica).
Consideriamo innanzitutto la condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità delle funzioni
Ovvero, fissando un
Però in ogni caso vale che la differenza tra la somma superiore e inferiore è comunque "contenuta" in
Infatti quando prendiamo una suddivisione più fine, la somma inferiore tende ad "alzarsi", invece la somma superiore tende ad "abbassarsi" (Suddivisione di un Intervallo > ^64461dOsservazione 4 (l'insieme delle suddivisioni è un reticolo)).
Inoltre l'osservazione appena effettuata vale lo stesso anche per la somma inferiore:
Sia
Allora vale che
Notiamo che le proprietà appena enunciate sono molto simili a delle medesime proprietà per cui si definiscono enti certi matematici.
Parliamo infatti dei spazi vettoriali (in particolare dei sottospazi vettoriali): infatti, se consideriamo
Per le proprietà appena viste, vediamo che chiaramente l'insieme delle funzioni integrabili
Inoltre, la dimensione (Dimensione > ^3a9321Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) dell'insieme
Inoltre, definendo l'"applicazione integrale" (non è il miglior termine che possiamo usare, ma ahimè) come quella funzione in cui inseriamo una funzione integrabile e otteniamo il suo integrale, vediamo che questa costituisce un'applicazione lineare. Vale infatti l'additività e l'omogeneità. (Definizione di Applicazione Lineare > ^9b39f9Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo))
Siano
Allora vale che
FIGURA 2.1. (Idea intuitiva della proposizione 2.1.)
Sia
Allora
FIGURA 2.2. (Idea grafica della proposizione 2.2.)
Sia
Allora considerando la restrizione di
FIGURA 3.1. (Idea grafica della proposizione 3.1.)
Si propone la seguente convenzione per scrivere gli integrali, in particolare per quanto riguarda gli intervalli di definizione.
Siano
Allora se abbiamo l'integrale
data: 2023-12-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema della Media Integrale
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Breve descrizione qui
Sia
Allora per esiste un valore nell'intervallo per cui l'immagine del valore sia uguale all'integrale della funzione diviso per la base
FIGURA 1.1. (Idea)
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema della media integrale (^c2f053Teorema 1 (della media integrale))
Innanzitutto tengo conto di una proprietà di definizione dell'integrale:
Cosa succede in questo caso? Vediamo che abbiamo
Ma per il teorema di Weierstraß (Teoremi sulle funzioni continue > ^918fc1Teorema 15 (di Weierstraß))
data: 2023-12-08
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Primitiva di una Funzione
tipologia: appunti
stato: "1"La primitiva di una funzione: definizione, osservazioni.
Siano
Allora se sussiste il seguente:
Sia
Tradizionalmente si chiama l'insieme delle primitive di una funzione
Voglio calcolare la primitiva della funzione identità
Un possibile approccio è quello di fare delle "ipotesi ragionate" su ciò che possono essere dei "buoni canditati": prendiamo ad esempio
Allora basta dividere tutto per due e alla fine ottengo
Vediamo che possono non esistere delle funzioni non primitivabili; ovvero delle funzioni delle quali primitive non possono essere espresse in termini di funzioni elementari (ovvero quelle che conosciamo). Bisognerebbe infatti proprio "inventare" nuove funzioni ad-hoc che definiscono delle primitive di funzioni non primitivabili.
Ad esempio la funzione
Osservo che a partire da una primitiva
Infatti
Sia
Sia
Allora le tutte e sole primitive di
(riformulazione). Ovvero una funzione
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (^3a574eTeorema 7 (di struttura delle primitive di una funzione))
"
"
data: 2023-12-08
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Definizione di Funzione Integrale
tipologia: appunti
stato: "1"Funzione Integrale: definizione di Funzione Integrale (Integralfunktion); prime proprietà della funzione integrale (lipschitziana e continua).
Sia
Allora definisco la funzione integrale di
FIGURA 1.1. (Idea grafica dell'Integralfunktion)
Sia una
In particolare, una funzione lipschitziana è anche continua: dalla condizione di Lipschitz deve discendere
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1. (^2635f6Proposizione 3 (funzione lipschitziana è continua))
Dimostrazione lasciata al lettore per esercizio (Esercizi sulle funzioni > ^488ad5Esercizio 12 (Esercizio C7.))
Consiglio: usare la definizione "alla Cauchy" della continuità.
Sia
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^7e839cTeorema 4 (die Integralfunktion ist lipschitzstetig))
Sia
Ma allora posso "rimpiazzare"
Sia
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (^abcab0Corollario 5 (die Integralfunktion ist kontinuierlich))
Questo teorema segue direttamente dal teorema 2.1. (^7e839cTeorema 4 (die Integralfunktion ist lipschitzstetig)) e dalla proposizione 2.1. (^2635f6Proposizione 3 (funzione lipschitziana è continua)). Infatti la dimostrazione è già stata "inclusa" nell'enunciato.
data: 2023-12-11
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Teorema fondamentale del Calcolo Integrale: enunciato, dimostrazione e corollari.
Sia
Sia
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema fondamentale del calcolo integrale (^99ef41Teorema 1 (fondamentale del calcolo integrale)).
Per dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale mi basta provare che la funzione integrale
Allora in definitiva ho
Se
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (^796d23Corollario 2 (primitivabilità delle funzioni continue))
Questo corollario segue direttamente dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti se una funzione è continua nel suo dominio, allora per il teorema sopracitato questa l'Integralfunktion di questa funzione è la primitiva per ogni punto nel dominio.
Inoltre nella dispensa si trova una dimostrazione alternativa.
Vedere la pagina Teorema di Torricelli-BarrowTeorema di Torricelli-Barrow dato che è possibile dimostrarla senza l'ausilio del "teorema padre", ovvero il teorema fondamentale del calcolo integrale.
data: 2023-12-11
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema di Torricelli-Barrow
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Teorema di Torricelli-Barrow: enunciato, dimostrazione alternativa e conseguenza principale.
Sia
Allora
Ha senso dunque considerare la sua funzione integrale (Funzione Integrale > ^e5e02bDefinizione 1 (la funzione integrale / die Integralfunktion)),
#Dimostrazione
Naturalmente questo teorema non è altro che il figlio del teorema fondamentale del calcolo integrale (Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale > ^99ef41Teorema 1 (fondamentale del calcolo integrale)), solo che al posto di concentrarci su un singolo punto la generalizziamo su tutto il dominio
Alternativamente è possibile dare la seguente dimostrazione "bypassando" il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Innanzitutto tengo conto del teorema della media integrale (Teorema della Media Integrale > ^c2f053Teorema 1 (della media integrale)).
Sia
Ma allora possiamo considerare il teorema delle media integrale per cui ho un dato
FIGURA 1.1.
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (^981032Corollario 2 (l'integrale è la differenza tra le primitive calcolate negli estremi))
Dal teorema di Torricelli-Barrow (^ebd157Teorema 1 (di Torricelli-Barrow)) so che la funzione integrale
Allora, essendo
Questo corollario è importante, dato che da questo momento il problema del calcolo integrale diventa quello di trovare le primitive di una funzione.
data: 2023-12-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Primitive delle Funzioni Elementari
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Tabella delle primitive delle funzioni elementari.
Prendiamo la tabella delle derivate delle funzioni e la "leggiamo al contrario":
Notiamo che per la frazione
Consideriamo infatti la funzione
La calcoliamo in
Per comodità chiamo l'insieme delle primitive di
data: 2023-12-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Integrazione per Parti
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Teorema dell'integrazione per parti: enunciato, dimostrazione e applicazione.
Siano
Allora vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^4f8e66Teorema 1 (integrazione per parti))
Ricordiamoci la regola di Leibniz per le derivate (Proprietà delle derivate > ^fd716fTeorema 3 (derivata di operazioni tra funzioni)):
Approfondimento tratto da "Le Matematiche" di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov e M. A. Lavrent'ev (pp. 169-170)
Si può alternativamente imparare una "dimostrazione" meno formale ma più "facile" da imparare a memoria di questo teorema: consideriamo l'integrazione come un'"operazione" che prende in argomento funzioni.
Allora, ricordandoci la regola di Leibniz possiamo derivare
Come "regoletta pratica" possiamo considerare la
Riformulando il teorema iniziale abbiamo
Inoltre è possibile impararsi un "trucchetto pratico" per questa tecnica di integrazione, spiegato nel seguente video dal professore universitario cinese-statunitense Steve Chow
https://www.youtube.com/watch?v=2I-_SV8cwsw
data: 2023-12-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Integrazione per Sostituzione
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Integrazione per sostituzione: teorema, dimostrazione e utilità pratica.
Sia
Sia
Allora vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^4d29d1Teorema 1 (integrazione per sostituzione))
La dimostrazione è immediata: questa segue dalle regole di derivazione (Proprietà delle derivateProprietà delle derivate) e dal teorema fondamentale del calcolo integrale (Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale > ^99ef41Teorema 1 (fondamentale del calcolo integrale)): infatti vale che
Anche se l'enunciato del teorema in sé potrebbe sembrar complicato, in realtà è più facile di quello che si pensa. Infatti possiamo usare la seguente regoletta pratica:
Si illustra questa regoletta nel seguente esempio.
Voglio calcolare
Siamo avari di denaro, quindi tentiamo di usare questa tecnica.
Poniamo dunque
Inoltre, "trasformiamo" gli estremi calcolando
data: 2023-12-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esercizi sugli Integrali
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Tutti gli esercizi sugli integrali: da Riemann al calcolo delle primitive.
Lezione 30
#Esercizio
Calcolare
Calcolare