Uni
2.1 - Sommari
Calcolo Integrale - Sommario

  1. NOMENCLATURA PRELIMINARE

Tutto sul calcolo integrale.

01. La suddivisione di un'intervallo

Suddivisione di un Intervallo

Breve descrizione qui

0. Prerequisiti e/o concetti correlati

1. Definizione di Suddivisione di un Intervallo

Definizione 1 (suddivisione di un'intervallo chiuso e limitato).

Sia un intervallo chiuso e limitato (Definizione 1 (intervalli limitati)), chiamo la suddivisione di un insieme finito di punti dentro che contiene sia che .
Lo denotiamo con il simbolo e lo definiamo formalmente come
L'idea grafica viene raffigurata nella figura 1.1..

FIGURA 1.1. (Concetto grafico di suddivisione)
Pasted image 20231205175851.png

Definizione 2 (l'insieme di tutte le suddivisione).

Indico l'insieme di tutte le suddivisioni di con

2. Relazioni tra le suddivisioni

Definizione 3 (finezza della suddivisione).

Siano , delle suddivisioni, dico che la suddivisione è più fine di se vale la seguente relazione:
L'idea grafica viene raffigurata nella figura 2.1..

FIGURA 2.1. (Concetto grafico della finezza)
Pasted image 20231205180536.png

TRUCCO MNEMONICO. Come "trucchetto mnemonico" si può "trasformare" il simbolo di essere contenuto in a essere minore di; ovvero è più fine di se , ovvero . Infatti l'idea di base della finezza consiste nel fatto che una suddivisione ha "più elementi" (anche se non necessariamente) dell'altra. Inoltre si vede che i simboli sono graficamente "simili".

Osservazione 4 (l'insieme delle suddivisioni è un reticolo).

Supponiamo di avere due suddivisioni e ; nessuna di queste due dev'essere più fine dell'altra (ad esempio potrebbe avere elementi diversi).
Possiamo comunque prendere una suddivisione più fine tra le due? Invece la suddivisione meno fine?
La risposta è sì, se consideriamo l'unione e l'intersezione tra queste due suddivisioni: prendendo "l'unione" comprendi tutti gli elementi sia di che di ; quindi è necessariamente più fine di entrambe.
Per quanto riguarda invece l'intersezione, questa prende solo gli elementi in comuni: ovvero, nel "caso peggiore" si prenderebbero solo gli estremi . Allora in questo caso entrambe le suddivisioni , sono più fine di .
Riassumendo, abbiamo
Infatti si può dire che le relazioni tra le suddivisioni determina il fatto che l'insieme delle suddivisioni forma un reticolo (da approfondire, Reticolo).
L'idea di questa osservazione viene raffigurata nella figura 2.2..

FIGURA 2.2. (L'idea delle relazioni tra suddivisioni)
Pasted image 20231205181822.png

02. La somma superiore e inferiore

Somma inferiore e superiore per una Funzione
Somma inferiore e superiore per una Funzione

Definizione di somma inferiore e superiore per una funzione relativa ad una suddivisione; osservazioni preliminari per l'integrazione secondo Riemann.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione di somma inferiore e superiore

Definizione 1 (somma inferiore per una funzione relativa ad una suddivisione).

Sia limitata (ovvero l'immagine è limitata).
Prendo una suddivisione (Definizione 2 (l'insieme di tutte le suddivisione)) qualsiasi .
Chiamo la somma inferiore per relativa a come il seguente:
Ovvero graficamente (figura 1.1.) questa significa la somma delle aree di tutti i rettangolini composti dai punti della suddivisione; ovvero la prima parte vuol semplicemente dire la base del rettangolino; invece è l'altezza "approssimata per difetto".

FIGURA 1.1. (Concetto grafico di somma inferiore)
Pasted image 20231205183854.png

Definizione 2 (somma superiore per una funzione relativa ad una suddivisione).

Sia limitata, sia una suddivisione del dominio.
Analogamente alla definizione della somma inferiore per relativa a (Definizione 1 (somma inferiore per una funzione relativa ad una suddivisione)), definisco la somma superiore per relativa a come la stessa, solo che al posto di "approssimare" per difetto prendendo , approssimo per eccesso prendendo ;

FIGURA 1.2. (Idea grafica della somma superiore)
Pasted image 20231205184405.png

2. Osservazioni sulle somme superiori e inferiore

Queste osservazioni vengono effettuate al fine di comprendere meglio il concetto di integrabilità secondo Riemann (Integrabilità secondo Riemann).
Come "presupposto" di queste osservazioni facciamo la seguente:
#Osservazione

Osservazione 3 (prima osservazione).

Ogni volta che prendo una suddivisione , posso calcolare sia la somma superiore ed inferiore relativa ad essa; ci poniamo le seguenti domande. (osservazioni 2.2., 2.3., 2.4.)

Osservazione 4 (la somma inferiore è sempre più piccolo della somma superiore).

Qual è la relazione tra e ?
Dato che sia la somma inferiore e superiore sono definiti dalla stessa "base" , allora l'unica parte per cui differiscono è "l'altezza"; da un lato abbiamo e dall'altro abbiamo .
Ma allora, per definizione un estremo inferiore di è sempre più piccolo di qualsiasi valore di , incluso l'estremo superiore di che a sua volta è più grande di qualsiasi valore di .
Allora si evince che
Lo stesso vale anche se abbiamo funzioni che hanno valori negativi, in quanto le aree "contano negativamente".

Osservazione 5 (la somma inferiore e superiore di suddivisioni più fini).

Osserviamo che aggiungendo ad una qualsiasi suddivisione un elemento questa diventa più fine (Definizione 3 (finezza della suddivisione)), in quanto stiamo sostanzialmente facendo una unione di un elemento con un insieme.
Allora supponendo , ci chiediamo quale sia la relazione tra le loro somme inferiori.
Possiamo ragionare graficamente (figura 2.3.): aggiungendo un "pezzo di suddivisione" in più, abbiamo una specie di nuovo "contributo" da parte di questo elemento aggiunto.
Allora si evince che
Analogamente si evince pure che
in quanto abbiamo dei "pezzettini" tolti (figura 2.3.).

FIGURA 2.3. (Idea grafica delle somme superiori inferiori di suddivisioni più fini delle altre)
Pasted image 20231205185842.png

Osservazione 6 (la relazione tra somma inferiore e superiore di suddivisioni qualsiasi).

Siano , delle suddivisioni qualsiasi.
Quale sarà mai la relazione tra la somma inferiore per e la somma superiore per ;
Intuitivamente si può pensare che la somma inferiore sarà sempre piccola di una somma superiore per suddivisioni qualsiasi; infatti la somma superiore "contiene" sempre la somma inferiore (figura 2.4.).

Infatti questa sembra una sorta di "panino", dove le linee delineate dalla somma superiore è la fetta di pane superiore; la parte in mezzo la carne; la parte sotto sono le linee delineate dalla somma inferiore. (forse non consiglio di usare questa analogia all'orale)

Infatti, ricordandoci delle osservazioni fatte sulle suddivisioni (Osservazione 4 (l'insieme delle suddivisioni è un reticolo)) possiamo prendere l'unione delle suddivisioni, maggiorarlo per la suddivisione inferiore di , poi maggioriamo a sua volta l'unione con la somma superiore dell'unione (per osservazione 2.2. Osservazione 4 (la somma inferiore è sempre più piccolo della somma superiore)), che a sua volta la maggioriamo con la somma superiore di (osservazione 2.3., Osservazione 5 (la somma inferiore e superiore di suddivisioni più fini)).

Ovvero, in termini matematici questo equivale a
Quindi, alla fine possiamo affermare che la somma inferiore di una qualsiasi suddivisione è sempre minore o uguale di una somma superiore di un'altra qualsiasi suddivisione. Ovvero la seguente proposizione.

Proposizione 7 (relazione tra somma inferiore e superiore).

Se è limitata, allora le somme inferiore sono sempre minori o uguali alla somma superiore.

FIGURA 2.4. (Intuizione grafica della proposizione 2.1.)
Pasted image 20231205192557.png

A. L'INTEGRALE DI RIEMANN

A1. Definizione di Integrabilità secondo Riemann

Integrabilità secondo Riemann
Integrabilità secondo Riemann

Definizione di funzione integrabile secondo Riemann; teorema di caratterizzazione di funzione integrabile: enunciato e dimostrazione.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione di Integrabilità secondo Riemann

Definizione 1 (integrabilità di una funzione secondo Riemann).

Sia limitata.
Si dice che è "integrabile secondo Riemann" se vale che

Definizione 2 (integrale di Riemann di una funzione su un intervallo).

ISia integrabile secondo Riemann.
Allora il valore per cui vale la relazione di definizione
lo chiamo integrale di Riemann di sull'intervallo e lo denoto come

Definizione 3 (l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann).

Indico l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann sull'intervallo con la seguente notazione

2. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili

Osservazione 4 (la necessità di una strategia per verificare l'integrabilità).

Notiamo che secondo la nostra definizione dell'integrabilità di una funzione, diventa molto difficile verificare se delle funzioni siano effettivamente integrabili o meno; infatti bisogna fare delle verifiche infinite per vedere se l'estremo superiore delle somme inferiori coincida effettivamente con l'estremo inferiore delle somme superiori.
Allora si propone il seguente teorema per "semplificarci" la vita trovando un modo per raggirare questi "calcoli infiniti".

Teorema 5 (condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann).

Sia limitata.
Allora è integrabile secondo Riemann se e solo se vale che
Ovvero, per ogni piccolo a piacere possiamo trovare una suddivisione tale che la differenza tra la somma superiore e la somma inferiore di relativa a è minore di ; ovvero la somma delle "aree intermedie" diventa piccolo a piacere.
Questo ci ricorda infatti la nozione di limite secondo Cauchy (Definizione 9 (limite infinito di una funzione all'infinito)): abbiamo un valore piccolo a piacere a cui dobbiamo associare un valore.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 5 (condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann))
"": Supponiamo integrabile secondo Riemann.
Allora esiste un valore reale
Allora, per la seconda proprietà dell'estremo superiore e inferiore (Teorema 16 (le proprietà dell'estremo superiore)), valgono che
Ma allora prendendo l'unione delle due suddivisioni vale che
Ora manipolo la prima espressione, moltiplicando per , per ottenere
Allora sommo con per ottenere
che è esattamente la tesi.
"": (Idea) Supponiamo per assurdo che vale la condizione di caratterizzazione e che non valga la tesi; ovvero supponiamo che la somma superiore è sempre lontana dalla somma inferiore. Ovvero
Ma allora basta fissare
Si vede che non ci sarà mai un che renda vera la condizione di caratterizzazione, che è un assurdo.

A2. Funzioni Integrabili secondo Riemann

Esempi di Funzioni Integrabili
Esempi di Funzioni Integrabili

Esempi di funzioni integrabili e non integrabili, corredato da calcoli.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Integrabilità di alcune funzioni elementari

Funzione costante

Esempio 1 (funzione costante).

Sia la funzione costante .
Allora, intuitivamente si può vedere la sua area sotto la "curva" (o linea retta) è semplicemente base per altezza, ovvero (figura 1.1.).
Però usiamo l'integrazione di Riemann (Definizione 2 (integrale di Riemann di una funzione su un intervallo)) per calcolare il suo integrale, ovvero l'area.
Calcolo dunque la sua somma inferiore (Definizione 1 (somma inferiore per una funzione relativa ad una suddivisione)) per una sua qualsiasi suddivisione:
Però è limitata solo su ; infatti . Allora ciò segue che
Facendo la stessa procedura, che è letteralmente la stessa, per la somma superiore otteniamo lo stesso risultato.
Dunque,

FIGURA 1.1. (Funzione costante)
Pasted image 20231206152458.png

Funzione identità

Esempio 2 (funzione identità).

Sia la funzione identità .
Allora anche qui si può intuire che l'area sotto la retta è l'area di un triangolo, ovvero base per altezza diviso due. Pertanto .
Ora verifichiamo quest'affermazione secondo l'integrazione di Riemann.
Prendiamo una suddivisione particolare .
Con tale suddivisione calcoliamo la somma inferiore e la somma superiore.

  1. Somma inferiore
  2. Somma superiore (passi analoghi)
    Ma noi conosciamo una proprietà della somma dei primi numeri naturali, ovvero
    Naturalmente questa è dimostrabile per induzione (Esempi di Induzione > ^d8e983).
    Allora prendiamo per buone le seguenti:
    Sottraendo la somma superiore per la somma inferiore vediamo che questa risulta in
    Ma per l'archimedeità dei reali (Teorema 3 (Archimedeità di .)) sappiamo che è vera la seguente:
    Quindi sicuramente la funzione identità è integrabile secondo Riemann.
    Ora procediamo a calcolare l'integrale: consideriamo innanzitutto che per definizione l'integrale deve stare tra la somma inferiore e la somma superiore della funzione, ovvero
    Però prendendo i limiti di successione (Definizione 3 (limite di successione)) di e vediamo che entrambe convergono a ; infatti
    Allora per il teorema dei due carabinieri versione successione (Osservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni)), vale che anche l'integrale converge a ; pertanto

Funzione potenza quadrata

Esempio 3 (funzione quadrato).

Sia , .
Vogliamo calcolare l'integrale .
Analogamente all'esempio 1.3., prendiamo la suddivisione
Ora calcoliamo la somma inferiore e superiore.
Allora calcolando le loro differenze otteniamo il medesimo risultato ; pertanto è integrabile secondo Riemann.
Adesso consideriamo la proprietà della somma dei quadrati per cui si ha
Anche questa è dimostrabile per induzione.
Ora vogliamo calcolare il valore dell'integrale; come prima consideriamo che l'integrale è "compresso" tra la sua somma inferiore e superiore, ovvero
Però considerando i limiti di successione per gli "estremi" abbiamo che entrambi convergono per il valore ; pertanto l'integrale è

La difficoltà dell'integrazione

Osservazione 4 (la necessità di una tecnica alternativa dell'integrazione).

Vediamo che calcolare l'integrale di una funzione secondo la tecnica di Riemann risulta spesso "faticoso" e "difficile" (anche se discutibile!): perciò sorge la necessità di trovare un altro modo più "semplice" per calcolare gli integrali, raggirando ad esempio il calcolo delle somme inferiore e/o superiore.
A proposito di ciò argomenterebbero a favore i noti matematici russi A. N. Kolmogorov, A. D. Aleksandrov e M. A. Lavrent'ev: loro affermerebbero che che ci serve un metodo più "generale" per calcolare gli integrali, in quanto fino ad ora abbiamo adoperato "tecniche specialissime".

: "[...] Per di più, anche quando sia possibile eseguire tale somma, ciò non si può fare con un metodo generale, ma con tecniche specialissime, dipendenti dal singolo problema.
Sorge quindi il problema di trovare un metodo generale peri l calcolo dell'integrale definito. Il problema generale del calcolo delle aree e dei volumi, così ricco di conseguenze pratiche, interessò i matematici per lungo tempo" - tratto da "Le Matematiche - Analisi, Algebra, Geometria Analitica" (1974) di A. N. Kolmogorov, A. D. Aleksandrov e M. A. Lavrent'ev

Funzione esponenziale

Esercizio 5 (Esercizio 1.1.).

Per esercizio calcolare l'integrale

2. Funzioni non integrabili

Osservazione 6 (esempio di funzione non integrabile).

Esistono funzioni che non siano integrabili secondo Riemann?
La risposta è sì, in quanto se consideriamo la funzione di Dirichlet scopriamo che questa non sia derivabile.
La funzione di Dirichlet è definita nel seguente modo:
Allora se prendo la sua somma superiore vedo che questa è sempre , in quanto prendendo un qualsiasi intervallo ci dev'essere almeno un numero razionale tra questi (Teorema 5 (Densità dei razionali nei reali.)). Pertanto il della funzione diventa .
Analogamente la somma inferiore è sempre .
Pertanto, vedo che

A3. Tipologie di funzioni integrabili

Tipologie di Funzioni Integrabili
Tipologie di Funzioni Integrabili

Teoremi che prescrivono l'integrabilità di certe famiglie di funzioni.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. L'integrabilità delle funzioni monotone

Teorema 1 (di integrabilità della funzioni monotone).

Sia ; sia monotona (Definizione 26 (monotonia di una funzione)).
Allora è integrabile secondo Riemann (Definizione 1 (integrabilità di una funzione secondo Riemann)).

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (di integrabilità della funzioni monotone))
Dimostriamo il caso in cui è monotona crescente; la dimostrazione è analoga anche nel caso in cui è monotona decrescente.
Osserviamo che è anche limitata in in quanto monotona crescente.
Allora considero la seguente suddivisione (Definizione 1 (suddivisione di un'intervallo chiuso e limitato)).
Adesso calcolo la differenza tra la somma superiore e la somma inferiore relativa a questa suddivisione, poi per minorarla con una certa quantità;
Ma per Archimede (Teorema 3 (Archimedeità di .)) questa quantità diventa piccola a piacere; pertanto per il teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (Teorema 5 (condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann)), la funzione è integrabile secondo Riemann.

2. Integrabilità delle funzioni continue

Teorema 2 (di integrabilità delle funzioni continue).

Sia una funzione continua (Definizione 5 (Funzione continua su un insieme)) sul suo dominio.
Allora è integrabile secondo Riemann.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 2 (di integrabilità delle funzioni continue))
Richiamiamoci ad una delle proprietà delle funzioni continue, ovvero il teorema di Heine (Teorema 4 (di Heine)).

Teorema 4 (di Heine).

Sia continua e sia compatta (Definizione 2 (Insieme compatto in R per successioni.)).
Allora è uniformemente continua.


Ovvero "alla Cauchy" sappiamo che è vero il seguente:
Allora fissiamo un qualunque e grazie alla continuità uniforme possiamo garantirci che esiste un tale che
In tal caso considero una suddivisione (Definizione 1 (suddivisione di un'intervallo chiuso e limitato)) dove ogni "distanza" tra due punti della suddivisione è minore di tale trovato. Ovvero, considero un
Graficamente questo ragionamento corrisponde alla figura 2.1.
Ora calcolo la differenza tra la somma superiore e la somma inferiore (Somma inferiore e superiore per una Funzione)
Ora considero il fatto che la funzione è continua e che "agiamo" su un intervallo chiuso e limitato: vediamo che così vale il teorema di Weierstraß (Teorema 15 (di Weierstraß)). Di conseguenza, possiamo considerare l'estremo superiore e inferiore come il minimo e massimo della funzione.
e analogamente
Pertanto
Ma sapendo che sia i punti di massimo e minimo e devono necessariamente vivere in , anche la loro distanza è minore di .
Graficamente quest'idea viene raffigurata nella figura 2.2..
Pertanto, per l'ipotesi della continuità uniforme vale che
In definitiva, tutto assieme possiamo concludere la dimostrazione.
Che corrisponde alla condizione necessaria e sufficiente dell'integrabilità (Teorema 5 (condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann)), pertanto è integrabile secondo Riemann.

FIGURA 2.1. (La suddivisione 'delta')
Pasted image 20231208115104.png
FIGURA 2.2. (I punti di max e min vivono in delta)
Pasted image 20231208115115.png

A4. Proprietà delle funzioni integrabili

Proprietà delle Funzioni Integrabili
Proprietà delle Funzioni Integrabili

Tutte le proprietà elementari delle funzioni integrabili: operazioni tra funzioni integrabili, confronto tra funzioni integrabili, pezzo di un integrale, convenzione di notazione degli integrali.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Integrali delle operazioni con funzioni

Proposizione 1 (l'integrale di due funzioni sullo stesso intervallo).

Siano delle funzioni integrabili secondo Riemann sull'intervallo (Definizione 1 (integrabilità di una funzione secondo Riemann)). Allora

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (Proposizione 1 (l'integrale di due funzioni sullo stesso intervallo))
Una dimostrazione che costituirà come la "base di ragionamento" delle proposizioni a venire è la seguente (infatti non dimostreremo le altre proposizioni, daremo una semplice idea grafica).
Consideriamo innanzitutto la condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità delle funzioni (Teorema 5 (condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann)).
Ovvero, fissando un ho
Ora considero l'unione delle suddivisioni , che comporta una suddivisione più fine sia di che di (Definizione 3 (finezza della suddivisione)).
Però in ogni caso vale che la differenza tra la somma superiore e inferiore è comunque "contenuta" in ; questo vale sia per che relativa alla suddivisione .
Infatti quando prendiamo una suddivisione più fine, la somma inferiore tende ad "alzarsi", invece la somma superiore tende ad "abbassarsi" (Osservazione 4 (l'insieme delle suddivisioni è un reticolo)).
e analogamente
Inoltre chiamo l'unione delle suddivisioni come per comodità; adesso sommo le due precedenti disequazioni termine per termine e abbiamo il seguente:
Ora osservo che la somma superiore della somma delle due funzioni è sempre minore o uguale alla somma delle somme superiori delle funzioni considerate separatamente, ovvero
Infatti, da un lato abbiamo un "solo" estremo superiore da cui prendere, dall'altro ne abbiamo due.
Inoltre l'osservazione appena effettuata vale lo stesso anche per la somma inferiore:
Allora, combinandoli insieme ottengo
che è proprio la condizione necessaria e sufficiente di integrabilità per la funzione relativo all'intervallo .

Proposizione 2 (l'integrale dello scalamento di una funzione).

Sia una funzione integrabile secondo Riemann su e sia uno "scalare" (ovvero numero) in .
Allora vale che è integrabile e che il suo integrale è il seguente.

L'integrabilità delle funzioni in termini di algebra lineare

Osservazione 3 (le funzioni integrabili costituiscono uno sottospazio vettoriale).

Notiamo che le proprietà appena enunciate sono molto simili a delle medesime proprietà per cui si definiscono enti certi matematici.
Parliamo infatti dei spazi vettoriali (in particolare dei sottospazi vettoriali): infatti, se consideriamo come l'insieme delle funzioni e la dotiamo delle operazioni di somma interna e dello scalamento esterno su , allora è un -spazio vettoriale. (Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K))

Per le proprietà appena viste, vediamo che chiaramente l'insieme delle funzioni integrabili non è solo un sottoinsieme di , ma è pure sottospazio vettoriale: vale infatti che la "funzione nulla" è integrabile e le proposizioni 1.1., 1.2. sono esattamente la chiusura della somma e dello scalamento. (Definizione 1 (sottospazio vettoriale))

Inoltre, la dimensione (Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) dell'insieme è infinita in quanto l'insieme è infinitamente generata.

Osservazione 4 (l'applicazione lineare integrale).

Inoltre, definendo l'"applicazione integrale" (non è il miglior termine che possiamo usare, ma ahimè) come quella funzione in cui inseriamo una funzione integrabile e otteniamo il suo integrale, vediamo che questa costituisce un'applicazione lineare. Vale infatti l'additività e l'omogeneità. (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo))

2. Confronto tra gli integrali delle funzioni integrabili

Proposizione 5 (l'integrale di una funzione grande è più grande dell'integrale di una funzione piccola).

Siano delle funzioni definite su . Siano inoltre . Valga che . (ovvero una funzione sta sempre in "alto" dell'altro)
Allora vale che

FIGURA 2.1. (Idea intuitiva della proposizione 2.1.)
Pasted image 20231208133614.png

Proposizione 6 (l'integrale del valore assoluto di una funzione è più grande dell'integrale della funzione).

Sia una funzione definita su . Sia .
Allora e vale che
Idealmente a sinistra abbiamo che consideriamo l'area totale, dove comunque le "parti negative" vengono sottratte alle "parte positive". Invece a destra abbiamo che le "parti negative" diventano "positive", dunque abbiamo la somma delle solo "parti positive".

FIGURA 2.2. (Idea grafica della proposizione 2.2.)
Pasted image 20231208135243.png

3. Partizione di un'integrale

Proposizione 7 (la partizione di un'integrale).

Sia e sia (punto interno).
Allora considerando la restrizione di in e abbiamo che
Graficamente quest'idea corrisponde a prendere l'area sotto la curva, prendere un punto per lui la dividiamo e vediamo che la somma delle due aree tagliate è l'area intera totale.

FIGURA 3.1. (Idea grafica della proposizione 3.1.)
Pasted image 20231208140432.png

4. Convenzione di scrittura degli integrali

Proposizione 8 (Convenzione di scrittura per gli integrali).

Si propone la seguente convenzione per scrivere gli integrali, in particolare per quanto riguarda gli intervalli di definizione.
Siano dei numeri disposti in qualsiasi modo; possiamo avere , , e così via...
Allora se abbiamo l'integrale
Possiamo "scambiare" il pedice e l'apice cambiando il segno; ovvero
Notiamo inoltre che con questa convenzione valgono comunque tutte le proprietà enunciate, in particolare la proposizione 3.1.. Infatti possiamo "giocare con i segni" per ottenere ciò che vogliamo.

A5. Il teorema della media integrale

Teorema della Media Integrale
Teorema della Media Integrale

Breve descrizione qui

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Enunciato del teorema

Teorema 1 (della media integrale).

Sia continua (Definizione 5 (Funzione continua su un insieme)), pertanto integrabile secondo Riemann (Definizione 1 (integrabilità di una funzione secondo Riemann)).
Allora per esiste un valore nell'intervallo per cui l'immagine del valore sia uguale all'integrale della funzione diviso per la base

FIGURA 1.1. (Idea)
Pasted image 20231212160620.png

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema della media integrale (Teorema 1 (della media integrale))
Innanzitutto tengo conto di una proprietà di definizione dell'integrale:
Questo vale in particolare se scelgo la suddivisione più banale, ovvero
che è la meno fine (Definizione 3 (finezza della suddivisione)) di tutte le suddivisioni possibili.
Cosa succede in questo caso? Vediamo che abbiamo
Graficamente se disegno il rettangolo "più basso" possibile e quello "più alto" possibile, ho che l'area della funzione viene "incastrata" tra di essi (figura 2.1.).
Ma per il teorema di Weierstraß (Teorema 15 (di Weierstraß)) ha sia che dato che essa è continua e viene definita su un insieme chiuso e limitato; allora e coincidono. Ovvero, definendo il punto di minimo e il punto di massimo, ho
Infine applico il teorema dei valori intermedi (Corollario 10 (teorema degli valori intermedi)) su e dunque ho
FIGURA 2.1.
Pasted image 20231212155525.png

B. DETOUR SULLA PRIMITIVA DI FUNZIONE

B1. LA PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE

Primitiva di una Funzione
Primitiva di una Funzione

La primitiva di una funzione: definizione, osservazioni.

1. Definizione di Primitiva di una Funzione

Definizione 1 (la primitiva di una funzione).

Siano due funzioni di variabile reale.
Allora se sussiste il seguente:
allora si dice primitiva di .

Definizione 2 (funzione primitivabile).

Sia . Se questa funzione ammette una funzione primitiva (Definizione 1 (la primitiva di una funzione)) per cui , allora si dice primitivabile.

Definizione 3 (integrale indefinito di una funzione).

Tradizionalmente si chiama l'insieme delle primitive di una funzione come "l'integrale indefinito di " e lo si denota con
NOTA. Al primo impatto questa definizione tradizionale è chiaramente confusionaria in quanto sembra di collegare due argomenti totalmente distaccati tra di loro: da un lato stiamo semplicemente considerando le primitive di una funzione, dall'altro degli integrali (Definizione 2 (integrale di Riemann di una funzione su un intervallo)). Quale sarà mai il collegamento tra di loro, se esiste? Scopriremo questo nesso col teorema fondamentale del calcolo integrale (Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale).

2. Esempi di primitive funzioni e di funzioni non primitivabili

Esempio 4 (la primitiva della funzione identità).

Voglio calcolare la primitiva della funzione identità .
Un possibile approccio è quello di fare delle "ipotesi ragionate" su ciò che possono essere dei "buoni canditati": prendiamo ad esempio . Prendendo la sua derivata , vedo che sono vicino (fuocherello).
Allora basta dividere tutto per due e alla fine ottengo
Pertanto per definizione è primitiva di .

Esempio 5 (funzioni non primitivabili).

Vediamo che possono non esistere delle funzioni non primitivabili; ovvero delle funzioni delle quali primitive non possono essere espresse in termini di funzioni elementari (ovvero quelle che conosciamo). Bisognerebbe infatti proprio "inventare" nuove funzioni ad-hoc che definiscono delle primitive di funzioni non primitivabili.
Ad esempio la funzione
non è primitivabile.

3. Generare altre primitive da una primitiva

Osservazione 6 (possiamo trovare altre primitive a partire da una).

Osservo che a partire da una primitiva di una funzione (che ovviamente sia primitivabile), posso trovare le sue altre primitive: basterebbe aggiunge una costante , in quanto la derivata della costante è .
Infatti

Teorema 7 (di struttura delle primitive di una funzione).

Sia primitivabile (Definizione 2 (funzione primitivabile)).
Sia una sua qualunque primitiva.
Allora le tutte e sole primitive di sono del tipo .
(riformulazione). Ovvero una funzione è primitiva di se e solo se è di forma .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (Teorema 7 (di struttura delle primitive di una funzione))
"". Questa è banalmente immediata: infatti .
"". Considero per calcolarne la derivata:
Per il teorema di Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange)) sappiamo che se su , allora la funzione è necessariamente una funzione costante (Teorema 3 (derivata nulla è sempre una costante)). Ma allora

C. IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

C1. La (die) Integralfunktion

Funzione Integrale
Funzione Integrale

Funzione Integrale: definizione di Funzione Integrale (Integralfunktion); prime proprietà della funzione integrale (lipschitziana e continua).

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione di Integralfunktion (Funzione Integrale)

Definizione 1 (la funzione integrale / die Integralfunktion).

Sia una funzione integrabile secondo Riemann sull'intervallo (Definizione 1 (integrabilità di una funzione secondo Riemann)).
Allora definisco la funzione integrale di su (oppure in tedesco die Integralfunktion) come il seguente:
Geometricamente questo corrisponde a prendere la singola area partizionata tra il punto (Proposizione 7 (la partizione di un'integrale)) (figura 1.1.).

FIGURA 1.1. (Idea grafica dell'Integralfunktion)
Pasted image 20231208185609.png

2. Proprietà dell'Integralfunktion

Integralfunktion Lipschitziana

Definizione 2 (funzione lipschitziana).

Sia una una funzione, se vale la seguente condizione, ovvero
allora si dice lipschitziana (o in tedesco lipschitzstetig).

Proposizione 3 (funzione lipschitziana è continua).

In particolare, una funzione lipschitziana è anche continua: dalla condizione di Lipschitz deve discendere

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1. (Proposizione 3 (funzione lipschitziana è continua))
Dimostrazione lasciata al lettore per esercizio (Esercizio 12 (Esercizio C7.))
Consiglio: usare la definizione "alla Cauchy" della continuità.

Teorema 4 (die Integralfunktion ist lipschitzstetig).

Sia una funzione integrabile secondo Riemann sull'intervallo (Integrabilità secondo Riemann) (ovvero ).
Sia l'Integralfunktion di , ovvero .
Allora la funzione integrale è lipschitziana (Proposizione 3 (funzione lipschitziana è continua))

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 4 (die Integralfunktion ist lipschitzstetig))
Sia integrabile secondo Riemann. Allora è limitata, ovvero:
dove, per due qualsiasi punti nell'intervallo di definizione abbiamo
Allora
Posso piazzare il valore assoluto dell'integrale in quanto non è garantito che ; infatti potremmo avere delle "aree negative" (Proposizione 6 (l'integrale del valore assoluto di una funzione è più grande dell'integrale della funzione)).
Ma allora posso "rimpiazzare" col valore per cui è limitato, ovvero .
Ovvero, in definitiva,

Integralfunktion Continua

Corollario 5 (die Integralfunktion ist kontinuierlich).

Sia una funzione integrabile secondo Riemann sull'intervallo (Integrabilità secondo Riemann) (ovvero ).
Sia l'Integralfunktion di , ovvero .
Allora la funzione integrale è continua, in quanto lipschitziana.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (Corollario 5 (die Integralfunktion ist kontinuierlich))
Questo teorema segue direttamente dal teorema 2.1. (Teorema 4 (die Integralfunktion ist lipschitzstetig)) e dalla proposizione 2.1. (Proposizione 3 (funzione lipschitziana è continua)). Infatti la dimostrazione è già stata "inclusa" nell'enunciato.

C2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (FCI)

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Teorema fondamentale del Calcolo Integrale: enunciato, dimostrazione e corollari.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Enunciato del Teorema F.C.I.

Teorema 1 (fondamentale del calcolo integrale).

Sia una funzione integrabile secondo Riemann (Definizione 1 (integrabilità di una funzione secondo Riemann)), ovvero .
Sia . Sia continua in (Definizione 2 (Funzione continua per un punto)).
Sia l'Integralfunktion di (Definizione 1 (la funzione integrale / die Integralfunktion)), ovvero
Allora è derivabile in e vale che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema fondamentale del calcolo integrale (Teorema 1 (fondamentale del calcolo integrale)).
Per dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale mi basta provare che la funzione integrale è derivabile in e che , ovvero per definizione della derivata (Definizione 1 (derivata di una funzione relativa ad un punto)) devo provare il limite
dove è il rapporto incrementale (Definizione 1 (rapporto incrementale di una funzione relativo un punto del dominio))
Allora riformulando nuovamente devo provare il limite
Però ricordandoci una delle proprietà per cui possiamo "invertire" il pedice con l'apice scambiando i segni ed effettuando delle manipolazioni posso avere
Inoltre mi ricordo che
infatti sto "calcolando" l'altezza partendo dall'area e dalla base (ovvero faccio )
Allora in definitiva ho
Ma so che è continua in , ovvero che vale il limite
Ovvero, "alla Cauchy" ciò equivale al seguente:
Allora, considerando un qualsiasi (ovvero tra gli "estremi" dell'integrale), ho
Allora con tutte le considerazioni appena effettuate e ricordandoci un'altra proprietà dell'integrale (Proposizione 6 (l'integrale del valore assoluto di una funzione è più grande dell'integrale della funzione)) ho
In definitiva, rimettendo tutto apposto ho il seguente:
che è proprio la definizione del limite

2. Conseguenze del teorema

Corollario 2 (primitivabilità delle funzioni continue).

Se è continua, allora è primitivabile (Definizione 2 (funzione primitivabile)) e la sua funzione integrale è una sua primitiva.

DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (Corollario 2 (primitivabilità delle funzioni continue))
Questo corollario segue direttamente dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti se una funzione è continua nel suo dominio, allora per il teorema sopracitato questa l'Integralfunktion di questa funzione è la primitiva per ogni punto nel dominio.
Inoltre nella dispensa si trova una dimostrazione alternativa.

Corollario 3 (teorema di Torricelli-Barrow).

Vedere la pagina Teorema di Torricelli-Barrow dato che è possibile dimostrarla senza l'ausilio del "teorema padre", ovvero il teorema fondamentale del calcolo integrale.

C3. Teorema di Torricelli-Barrow

Teorema di Torricelli-Barrow
Teorema di Torricelli-Barrow

Teorema di Torricelli-Barrow: enunciato, dimostrazione alternativa e conseguenza principale.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Enunciato del teorema di Torricelli-Barrow

Teorema 1 (di Torricelli-Barrow).

Sia continua nel dominio (Definizione 2 (Funzione continua per un punto)).
Allora è integrabile (Teorema 2 (di integrabilità delle funzioni continue)).
Ha senso dunque considerare la sua funzione integrale (Definizione 1 (la funzione integrale / die Integralfunktion)),
Allora è derivabile nel dominio e vale che

#Dimostrazione
Naturalmente questo teorema non è altro che il figlio del teorema fondamentale del calcolo integrale (Teorema 1 (fondamentale del calcolo integrale)), solo che al posto di concentrarci su un singolo punto la generalizziamo su tutto il dominio .
Alternativamente è possibile dare la seguente dimostrazione "bypassando" il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Innanzitutto tengo conto del teorema della media integrale (Teorema 1 (della media integrale)).
Sia continua su e considero il rapporto incrementale .
Possiamo illustrare in una maniera grafica il fatto che
(figura 1.1.)
Ma allora possiamo considerare il teorema delle media integrale per cui ho un dato vale che
Pertanto passando al limite ho

FIGURA 1.1.
Pasted image 20231212161929.png

2. Conseguenze del teorema di Torricelli-Barrow

Corollario 2 (l'integrale è la differenza tra le primitive calcolate negli estremi).

Sia una primitiva di , che è continua in , allora si ha

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (Corollario 2 (l'integrale è la differenza tra le primitive calcolate negli estremi))
Dal teorema di Torricelli-Barrow (Teorema 1 (di Torricelli-Barrow)) so che la funzione integrale
è una primitiva di .
Allora, essendo una primitiva qualsiasi, so che la differenza puntuale tra è necessariamente una costante, dato che è di forma . Ovvero
Poi so che , dato che : quindi
Infine scrivo

Osservazione 3 (lo spostamento del problema del calcolo integrale).

Questo corollario è importante, dato che da questo momento il problema del calcolo integrale diventa quello di trovare le primitive di una funzione.

D. IL CALCOLO DELLE PRIMITIVE

D1. Tecnica I (primitive delle elementari)

Primitive delle Funzioni Elementari
Primitive delle Funzioni Elementari

Tabella delle primitive delle funzioni elementari.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Tabella delle Primitive delle Funzioni Elementari

Prendiamo la tabella delle derivate delle funzioni e la "leggiamo al contrario":
oppure
Osservazione 1 (l'arcoseno e l'arcocoseno sono la stessa cosa in questo contesto).

Notiamo che per la frazione abbiamo due primitive ammissibili: questo al primo impatto può sembrare strano, ma in una seconda analisi (matematica) vedremo che questa situazione ha perfettamente senso!

Consideriamo infatti la funzione
Che è definita in dato che entrambe sono definite in tale intervallo.
La calcoliamo in (ricordandoci delle definizioni! Funzioni trigonometriche > ^07affd):
Calcoliamo la derivata di :
Ma per una conseguenza del teorema di Lagrange (Teorema 3 (derivata nulla è sempre una costante)), dev'essere una funzione costante, di conseguenza deve valere
Quindi vediamo che queste funzioni sono effettivamente le stesse, solo che una è traslata dell'altra. Poi, come osserveremo nel contesto del calcolo integrale, questo li rende effettivamente uguali.

Osservazione 2 (Osservazione 1.2.).

Per comodità chiamo l'insieme delle primitive di come , ovvero "l'integrale indefinito" di ; inoltre indico un qualsiasi elemento di come .

D2. Tecnica II (integrazione per parti)

Integrazione per Parti
Integrazione per Parti

Teorema dell'integrazione per parti: enunciato, dimostrazione e applicazione.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Enunciato della regola

Teorema 1 (integrazione per parti).

Siano (ovvero derivabili almeno una volta con la loro derivata continua) (Definizione 2 (classe C di una funzione reale)).
Allora vale che
Da cui

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (integrazione per parti))
Ricordiamoci la regola di Leibniz per le derivate (Teorema 3 (derivata di operazioni tra funzioni)):
So che sia che sono continue. Allora possiamo considerare la funzione integrale di :
da cui, calcolandola in , deriva

Osservazione 2 (trucchetto mnemonico).

Approfondimento tratto da "Le Matematiche" di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov e M. A. Lavrent'ev (pp. 169-170)
Si può alternativamente imparare una "dimostrazione" meno formale ma più "facile" da imparare a memoria di questo teorema: consideriamo l'integrazione come un'"operazione" che prende in argomento funzioni.
Allora, ricordandoci la regola di Leibniz possiamo derivare

3. Regola pratica

Osservazione 3 (regola pratica).

Come "regoletta pratica" possiamo considerare la come la funzione "derivanda" chiamandola , e invece possiamo considerare come la funzione "integranda" chiamandola .
Riformulando il teorema iniziale abbiamo
Dove sono le funzioni originali, la funzione derivata e la funzione integrata.

Metodo D-I (approfondimento personale)

Osservazione 4 (metodo D-I).

Inoltre è possibile impararsi un "trucchetto pratico" per questa tecnica di integrazione, spiegato nel seguente video dal professore universitario cinese-statunitense Steve Chow
https://www.youtube.com/watch?v=2I-_SV8cwsw

D3. Tecnica III (integrazione per sostituzione)

Integrazione per Sostituzione
Integrazione per Sostituzione

Integrazione per sostituzione: teorema, dimostrazione e utilità pratica.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Enunciato del teorema

Teorema 1 (integrazione per sostituzione).

Sia (ovvero derivabile fino ad almeno con continua),
Sia continua (Definizione 2 (Funzione continua per un punto)).
Sia l'Integralfunktion di (Definizione 1 (la funzione integrale / die Integralfunktion)).
Allora vale che
Di conseguenza vale anche
In particolare se è invertibile e vale che , allora vale anche

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (integrazione per sostituzione))
La dimostrazione è immediata: questa segue dalle regole di derivazione (Proprietà delle derivate) e dal teorema fondamentale del calcolo integrale (Teorema 1 (fondamentale del calcolo integrale)): infatti vale che

3. Regola pratica

Osservazione 2 (regoletta pratica).

Anche se l'enunciato del teorema in sé potrebbe sembrar complicato, in realtà è più facile di quello che si pensa. Infatti possiamo usare la seguente regoletta pratica:

  • Poniamo una nuova "variabile" e la chiamiamo in funzione di ; ovvero abbiamo qualcosa del tipo .
  • Prendendo la derivata di ottengo .
  • Se nell'integrale riesco a trovare , posso "sostituirla" con e posso sostituire altrettanto con . Inoltre dobbiamo ricordarci pure di sostituire gli estremi dell'integrando! Supponendo che siano gli estremi allora li troviamo ponendo e .

Si illustra questa regoletta nel seguente esempio.

Esempio 3 (sostituzione per ).

Voglio calcolare
Anche se questo integrale sarebbe troppo banalmente facile da calcolare con le altre tecniche di integrazione (come ad esempio mediante la tabella delle primitive), supponiamo però di esser pagati una modica cifra di denaro per ogni volta che usiamo l'integrazione per sostituzione.
Siamo avari di denaro, quindi tentiamo di usare questa tecnica.
Poniamo dunque , da cui implica .
Inoltre, "trasformiamo" gli estremi calcolando
Ho tutte le condizioni per svolgere l'integrale? Sì! Ho proprio nell'integrale stesso.
Allora lo effettuo la sostituzione per :
Alla fine calcolo l'integrale
che è ciò che volevamo.

E. ESERCIZI SUGLI INTEGRALI

Esercizi sugli Integrali
Esercizi sugli Integrali

Tutti gli esercizi sugli integrali: da Riemann al calcolo delle primitive.

TIPOLOGIA A. VALUTAZIONE SECONDO RIEMANN

Lezione 30
#Esercizio

Esercizio 1 (esponenziale).

Calcolare
mediante l'integrazione secondo Riemann.

Esercizio 2 (potenza).

Calcolare
per un qualunque , mediante l'integrazione secondo Riemann.

TIPOLOGIA B. CALCOLO DELLE PRIMITIVE

Table Of Contents
NOMENCLATURA PRELIMINARE
1. La suddivisione di un'intervallo
0. Prerequisiti e/o concetti correlati
1. Definizione di Suddivisione di un Intervallo
2. Relazioni tra le suddivisioni
2. La somma superiore e inferiore
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Definizione di somma inferiore e superiore
2. Osservazioni sulle somme superiori e inferiore
A. L'INTEGRALE DI RIEMANN
A1. Definizione di Integrabilità secondo Riemann
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Definizione di Integrabilità secondo Riemann
2. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili
A2. Funzioni Integrabili secondo Riemann
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Integrabilità di alcune funzioni elementari
Funzione costante
Funzione identità
Funzione potenza quadrata
La difficoltà dell'integrazione
Funzione esponenziale
2. Funzioni non integrabili
A3. Tipologie di funzioni integrabili
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. L'integrabilità delle funzioni monotone
2. Integrabilità delle funzioni continue
A4. Proprietà delle funzioni integrabili
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Integrali delle operazioni con funzioni
L'integrabilità delle funzioni in termini di algebra lineare
2. Confronto tra gli integrali delle funzioni integrabili
3. Partizione di un'integrale
4. Convenzione di scrittura degli integrali
A5. Il teorema della media integrale
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Enunciato del teorema
2. Dimostrazione
B. DETOUR SULLA PRIMITIVA DI FUNZIONE
B1. LA PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE
1. Definizione di Primitiva di una Funzione
2. Esempi di primitive funzioni e di funzioni non primitivabili
3. Generare altre primitive da una primitiva
C. IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
C1. La (die) Integralfunktion
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Definizione di Integralfunktion (Funzione Integrale)
2. Proprietà dell'Integralfunktion
Integralfunktion Lipschitziana
Integralfunktion Continua
C2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (FCI)
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Enunciato del Teorema F.C.I.
2. Conseguenze del teorema
C3. Teorema di Torricelli-Barrow
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Enunciato del teorema di Torricelli-Barrow
2. Conseguenze del teorema di Torricelli-Barrow
D. IL CALCOLO DELLE PRIMITIVE
D1. Tecnica I (primitive delle elementari)
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Tabella delle Primitive delle Funzioni Elementari
D2. Tecnica II (integrazione per parti)
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Enunciato della regola
2. Dimostrazione
3. Regola pratica
Metodo D-I (approfondimento personale)
D3. Tecnica III (integrazione per sostituzione)
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Enunciato del teorema
2. Dimostrazione
3. Regola pratica
E. ESERCIZI SUGLI INTEGRALI
TIPOLOGIA A. VALUTAZIONE SECONDO RIEMANN
TIPOLOGIA B. CALCOLO DELLE PRIMITIVE